El crecimiento exponencial

En estos últimos días hemos estado trabajando con tipos de funciones y sus aplicaciones, uno de los tipos que más aparece en la naturaleza es el de las funciones exponenciales. Una introducción muy completa se encuentra en:

Propuesta:

Elegir dos aplicaciones, estudiarlas y hacer un resumen cuidadoso.

Cónicas

Unas curvas interesantes que se pueden obener como lugares geométricos nos las descubren en el siguiente video:

Propuesta:

• Clasifícarlas y relacionarlas con los lugares geométricos
•  Escribir una aplicación de cada una de ellas

Espero vustras respuestas.

El lenguaje de las gráficas

Para introcudir el nuevo tema sería interesante que vierais con detenimiento el siguiente video:

Propuestas:

•  Relación de situaciones en las que aparecen las gráficas
• Tipos de funciones que aparecen
• Elige tres matemáticos que trabjaron en las gráficas

Espero vuestras respuestas

Inverso, opuesto y conjugado

¿Podríais explicar las diferencias entre estos tres numeros relacionados con el número complejo z?

¿Hay algún o algunos números complejos en el que coincidan  dos o más de ellos ? ¿Cuáles?

Están abiertos los comentarios y esperan vuestras respuestas.

Igualdad de números complejos en forma polar

Nos ha que dado un aspecto sin tratar y es :
¿Cuando son iguales dos números complejos en polar?
Espero vuestras respuestas y vuestros ejemplos

Procedente de la página de Filatelia matemática

Imagen obtenida en Internet del conjunto de Maldebrot

Mapa del Tesoro

Un problema que se puede resolver usando números complejos apareció hace algunos años en un libro del físico Georges Gamov. Os lo escribo a continuación y espero vuestras respuestas.

" Un viejo pirata dió a su hijo antes de morir las siguientes instrucciones: Navega hasta ... latitud norte y ... de longitud oeste. Allí encontrarás una isla, y en un prado en su costa norte un roble, un pino y una horca dónde colgábamos a los traidores. Camina de la horca al roble contando los pasos. Al llegar al roble, gira a la derecha en ángulo recto y da el mismo número de pasos. Clava allí otra estaca. Cava en el punto medio entre entre las dos estacas y encontrarás un tesoro"
El hijo del pirata encontró la isla, el prado, el roble y el pino. Pero la horca había desaparecido y, desencantado, volvió a casa igual de pobre que antes.

Sin embargo Gamov decía que no daba las coordenadas para que no fuéramos corriendo a por el tesoro y se lo quitáramos a él, ¡porque no es difícil encontrarlo!

Modulo de un complejo y las operaciones

Es interesante buscar la relación entre el módulo y las operaciones en el conjunto de los números Complejos

¿Se puede calcular el módulo de la suma de dos números complejos a partir de la suma de los módulos?

¿Se puede calcular el módulo de un producto a partir de los módulos de los factores?

¿Y con el cociente o división de complejos?

¿Y con la potencias?

¿Y con las raíces?




El alumnado de 1º de bachillerato de un instituto ha confeccionado un artículo sobre los Números complejos que podeis consultar en el siguiente enlace: instituto

A continuación una fórmula maravillosa,

Propuestas para comentar

Os propongo una serie de cuestiones y espero ver vuestras respuestas o nuevas propuestas:

¿Hay alguna relación entre el conjugado de una suma de dos complejos y la suma de los conjugados de cada uno?


¿Y entre el conjugado del producto y el producto de los conjugados?


¿Habrá alguna relación entre el conjugado de un cociente y el cociente de los conjugados de los dos términos?


¿Y con las potencias? ¿Y las raíces?

¿Qué será el conjugado del conjugado de un número complejo?

¿Qué es un niño complejo?

Un niño con la madre real y el padre imaginario.

Gráficas en coordenadas polares

En la entrada anterior no habíamos colocado ninguna imagen, aquí están

Coordenadas polares de un números complejo

Gráficas de un complejo, su conjugado y su opuesto

Patricia

El trabajo de Patricia

Resuelvo el problema que tiene de enunciado general. Calcula sen nx y cos nx en función de sen x y cos x:

Para resolverlo utilizo la fórmula de De Moivre, desarrollando el primer miembro mediante el binomio de Newton y luego se igualan partes reales y partes imaginarias. A continuación escribo el proceso en dos casos.

Ejemplo1: Calcula sen 2x y cos 2x en función de sen x y cos x:

Planteo la fórmula de De Moivre (cos x + i sen x)² = cos2x + i sen 2x

Desarrollo la potencia (cos x + i sen x)² = cos² x + 2·cos x·isen x + (isen x)², realizando las operaciones:

(cos x + i sen x)² = cos²x +i 2sen x·cosx –sen²x agrupando partes reales e imaginarias

(cos x + i sen x)² = (cos ²x – sen²x)+ i2senx ·cos x = cos 2x + isen 2x por la Fórmula de DE Moivre.

Igualando partes reales e imaginarias tenemos:

sen2x = 2senx ·cos x

cos 2x = cos ²x – sen²x

Que recordamos de la Trigonometría.

Ejemplo 2: Calcula sen 3x y cos 3x en función de sen x y cos x:

Planteo la fórmula de De Moivre (cos x + i sen x)³ = cos3x + i sen 3x

Desarrollo la potencia

(cos x + i sen x)³ = cos³ x + 3·cos² x·isen x +3·cos x·(isen x)² + (isen x)³,

realizando las operaciones y calculando las potencias de i se obtiene:

(cos x + i sen x)³ = cos³x +i 3sen x·cos²x -3·cos x·sen²x – isen³x

agrupando partes reales e imaginarias

(cos x + i sen x)³ = (cos³x – 3·cos x·sen²x)+i(3sen x·cos²x - sen³x )

= cos 3x + isen 3x por la Fórmula de De Moivre.

Igualando partes reales e imaginarias tenemos:

cos3x = cos³x – 3·cos x·sen²x

sen 3x = 3sen x·cos²x - sen³x

Por el mismo método calcularíamos otras expresiones

Ejercicio: Calcula sen 4α y cos 4α en función de sen α y cos α:

Producto y división de números complejos

Alba cuenta la nueva forma de multiplicar y dividir

Producto de números complejos en forma polar

Al multiplicar dos complejos en forma polar, se obtiene otro número complejo que tiene:

• El módulo es el producto de los módulos.
• El argumento es la suma de los argumentos.

r_α · r^’_β = r·r’_α+β

Cociente de dos números complejos

Al dividir dos complejos en forma polar, se obtiene otro número complejo que tiene:

• El módulo es el cociente de los módulos.
• El argumento es la diferencia de los argumentos.

r_α/ r^’_β = (r/r’)_α-β

_{Las demostraciones están en el trabajo completo, que se encuentra en el aula}

Ejemplos

a/ 2_30º·5_70º = 10_100º

b/ 15_120º / 3_60º = 5_60º

Para multiplicar dos números complejos los escribimos en forma polar. Los multiplicamos y a continuación damos el resultado en la misma forma en la que nos han propuesto el ejercicio.

Para estudiar el significado geométrico del producto conviene estudiarlo en el siguiente enlace. Producto

Cociente

Pregunta ¿Qué significa geométricamente multiplicar un complejo por i?