Modulo de un complejo y las operaciones

Es interesante buscar la relación entre el módulo y las operaciones en el conjunto de los números Complejos

¿Se puede calcular el módulo de la suma de dos números complejos a partir de la suma de los módulos?

¿Se puede calcular el módulo de un producto a partir de los módulos de los factores?

¿Y con el cociente o división de complejos?

¿Y con la potencias?

¿Y con las raíces?




El alumnado de 1º de bachillerato de un instituto ha confeccionado un artículo sobre los Números complejos que podeis consultar en el siguiente enlace: instituto

A continuación una fórmula maravillosa,

Propuestas para comentar

Os propongo una serie de cuestiones y espero ver vuestras respuestas o nuevas propuestas:

¿Hay alguna relación entre el conjugado de una suma de dos complejos y la suma de los conjugados de cada uno?


¿Y entre el conjugado del producto y el producto de los conjugados?


¿Habrá alguna relación entre el conjugado de un cociente y el cociente de los conjugados de los dos términos?


¿Y con las potencias? ¿Y las raíces?

¿Qué será el conjugado del conjugado de un número complejo?

¿Qué es un niño complejo?

Un niño con la madre real y el padre imaginario.

Gráficas en coordenadas polares

En la entrada anterior no habíamos colocado ninguna imagen, aquí están

Coordenadas polares de un números complejo

Gráficas de un complejo, su conjugado y su opuesto

Patricia

El trabajo de Patricia

Resuelvo el problema que tiene de enunciado general. Calcula sen nx y cos nx en función de sen x y cos x:

Para resolverlo utilizo la fórmula de De Moivre, desarrollando el primer miembro mediante el binomio de Newton y luego se igualan partes reales y partes imaginarias. A continuación escribo el proceso en dos casos.

Ejemplo1: Calcula sen 2x y cos 2x en función de sen x y cos x:

Planteo la fórmula de De Moivre (cos x + i sen x)² = cos2x + i sen 2x

Desarrollo la potencia (cos x + i sen x)² = cos² x + 2·cos x·isen x + (isen x)², realizando las operaciones:

(cos x + i sen x)² = cos²x +i 2sen x·cosx –sen²x agrupando partes reales e imaginarias

(cos x + i sen x)² = (cos ²x – sen²x)+ i2senx ·cos x = cos 2x + isen 2x por la Fórmula de DE Moivre.

Igualando partes reales e imaginarias tenemos:

sen2x = 2senx ·cos x

cos 2x = cos ²x – sen²x

Que recordamos de la Trigonometría.

Ejemplo 2: Calcula sen 3x y cos 3x en función de sen x y cos x:

Planteo la fórmula de De Moivre (cos x + i sen x)³ = cos3x + i sen 3x

Desarrollo la potencia

(cos x + i sen x)³ = cos³ x + 3·cos² x·isen x +3·cos x·(isen x)² + (isen x)³,

realizando las operaciones y calculando las potencias de i se obtiene:

(cos x + i sen x)³ = cos³x +i 3sen x·cos²x -3·cos x·sen²x – isen³x

agrupando partes reales e imaginarias

(cos x + i sen x)³ = (cos³x – 3·cos x·sen²x)+i(3sen x·cos²x - sen³x )

= cos 3x + isen 3x por la Fórmula de De Moivre.

Igualando partes reales e imaginarias tenemos:

cos3x = cos³x – 3·cos x·sen²x

sen 3x = 3sen x·cos²x - sen³x

Por el mismo método calcularíamos otras expresiones

Ejercicio: Calcula sen 4α y cos 4α en función de sen α y cos α:

Producto y división de números complejos

Alba cuenta la nueva forma de multiplicar y dividir

Producto de números complejos en forma polar

Al multiplicar dos complejos en forma polar, se obtiene otro número complejo que tiene:

• El módulo es el producto de los módulos.
• El argumento es la suma de los argumentos.

r_α · r^’_β = r·r’_α+β

Cociente de dos números complejos

Al dividir dos complejos en forma polar, se obtiene otro número complejo que tiene:

• El módulo es el cociente de los módulos.
• El argumento es la diferencia de los argumentos.

r_α/ r^’_β = (r/r’)_α-β

_{Las demostraciones están en el trabajo completo, que se encuentra en el aula}

Ejemplos

a/ 2_30º·5_70º = 10_100º

b/ 15_120º / 3_60º = 5_60º

Para multiplicar dos números complejos los escribimos en forma polar. Los multiplicamos y a continuación damos el resultado en la misma forma en la que nos han propuesto el ejercicio.

Para estudiar el significado geométrico del producto conviene estudiarlo en el siguiente enlace. Producto

Cociente

Pregunta ¿Qué significa geométricamente multiplicar un complejo por i?