Potencias de un número complejo en forma polar
Si queremos calcular (r a )n = r a · r a ·……….· r a = (rn )n a
El resultado de la potencia de exponente n de un número complejo r a es otro número complejo cuyo módulo es la potencia de exponente n del módulo, rn, y de argumento n·a
Ejemplo:
(560º )4 = (54)4·60º = 625240º (190º)10 = (110)10·90º = 1900º = 1180º
La fórmula de De Moivre
La fórmula dice (cos a + i sen a )n = cos na + i sen na
Se obtiene mediante las propiedades de las potencias de un número complejo. Para demostrarlo, primero hay que convertir cos a + i sen a en forma polar:
cos a + i sen a = 1a, entonces (cos a + i sen a)n = (1a)n(1a)n = (1n)na = 1na usando la definición de potencia
Finalmente, volvemos a transformar la forma polar en forma binómica a través de la forma trigonométrica
1na = cos na + i sen na
Así es como obtenemos las fórmula de Dr Moivre, que permite conocer cos na y sen na en función de cos a y sen a
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