Forma polar y trigonometrica

Bonet cuenta las formas polar y trigonométrica
Forma polar de un número complejo

Se expresa de la forma z = r_α Está compuesto por r es módulo del vector que representa al número complejo. Y el ángulo α, el argumento que es el ángulo que forma el vector con la parte positiva del eje real.

Para pasar de la forma binómica a la polar seguimos el proceso siguiente:

Para calcular el módulo de z, utilizamos lo que conocemos para calcular el módulo del vector de componentes (a, b), la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las componentes. Para determinar el argumento nos fijamos en que se cumple

es la parte imaginaria y a es la parte real de z)

Para pasar de la forma polar a la forma trigonométrica:

Observando el dibujo y recordando las definiciones de las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

Como cos α= a/r luego a = r cos α

Como sen α = b/r luego b=r sen α

Y la forma trigonométrica será z = rcos α + i rsen α = r(cos α+ i sen α)

Que nos permite obtener la forma binómica del complejo que nos han dado en forma polar.

El complejo conjugado de z = rα = a + bi es otro complejo que cumple:

1. En forma binómica es z= a - bi

2. Tiene el mismo módulo que z

3. Su argumento se obtiene 360º - α o bien con - α

(Gráficamente un complejo y su conjugado son simétricos respecto del eje real)

El complejo opuesto de z = r_α = a + bi es otro número complejo que cumple:

1. En forma binómica es -z = -a - bi

2. Tiene el mismo módulo que z

3. El argumento se obtiene 180º + α

En el siguiente enlace podeis comprobar la relación entre las formas binómica y pola: gráfica

En el siguiente podeis además estudiar las relaciones entre un complejo, su conjugado y su opuesto:

relación